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norme d'un vecteur produit scalaire

Le produit scalaire, en utilisant les notations du paragraphe sur le projeté, correspond à l'aire du rectangle de base AH et de hauteur AB. ⋅ Soient O, A et B, trois points du plan, la valeur absolue du produit scalaire des deux vecteurs d'extrémités O, A et O, B, est toujours inférieure ou égale au produit des normes des deux vecteurs. + ^ { De telles définitions du produit scalaire donnent des outils intéressants pour vérifier une orthogonalité, une colinéarité ou déterminer un angle géométrique. A Notons (φ1, φ2, φ3) et (ψ1, ψ2, ψ3) les coordonnées des vecteurs Pour ce faire, il utilise un outil appelé déterminant, et utilise la formulation suivante du produit scalaire, par construction géométrique, équivalente à celle de l'article : Sur le dessin, les parallélogrammes ont été déformés en rectangles de même aire par la propriété de cisaillement. Chacun des deux rectangles hachurés en vert a pour surface le produit scalaire de 1 2 Le produit scalaire est alors toujours noté par un point : × y e L'expression est simplifiée lorsque la base choisie est orthonormale (les vecteurs de base sont de norme égale à 1 et sont orthogonaux deux à deux). → i → {\displaystyle \wedge } Le produit scalaire permet d'exploiter les notions de la géométrie euclidienne traditionnelle : longueurs, angles, orthogonalité en dimension deux et trois, mais aussi de les étendre à des espaces vectoriels réels de toute dimension, et (avec certaines modifications dans la définition) aux espaces vectoriels complexes. A ( → {\displaystyle \smile } ∩ ( {\displaystyle {\dot {\cup }}} ^ {\displaystyle {\overrightarrow {OA}}} C ∪ {\displaystyle {\vec {x}}} → → . × {\displaystyle \ast } b → {\displaystyle [,]} A Elles permettent, entre autres, de définir de nombreuses structures additionnelles, souvent elles aussi euclidiennes. x A x 1 0 obj<> endobj 2 0 obj<�z�I.)/CreationDate(�'�!���+�$N�;\(2j>�z�I. {\displaystyle \circ } B 2 y → et A , o Elle découle du développement du produit scalaire des deux vecteurs exprimés dans la base : x Dans une approche élémentaire, ces scalaires sont des réels. A O Comme il existe deux grandes manières de définir les vecteurs, soit par une approche purement algébrique (voir l'article « Espace vectoriel »), soit par une approche géométrique à l'aide des bipoints (ou couple de points, voir « Vecteur »), il existe de même deux manières de présenter le produit scalaire : une manière algébrique (objet de l'article « Espace préhilbertien »), et une manière géométrique, à l'aide de bipoints. 2 A → {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}} {\displaystyle \#} → {\displaystyle \times } → H {\displaystyle {\overrightarrow {OA}}} {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=(x_{1}{\vec {e_{1}}}+x_{2}{\vec {e_{2}}}+x_{3}{\vec {e_{3}}})\cdot (y_{1}{\vec {e_{1}}}+y_{2}{\vec {e_{2}}}+y_{3}{\vec {e_{3}}}),}. Un espace de Hilbert peut être réel ou complexe. {\displaystyle \cup } ⋅ La somme des deux surfaces est bien égale à la surface du rectangle coloré (rouge et rose) qui est le produit scalaire de x {\displaystyle {\overrightarrow {OB}}} → Il devient ainsi possible d'appliquer des résultats de l'analyse réelle à la géométrie différentielle. On remarque que si H est confondu avec A, alors le produit scalaire est nul. y A A e Différence ∘ B → A Comme la longueur du segment [B, C] est celle du segment [C, B], le théorème d'Al-Kashi établit la symétrie du produit scalaire : Symétrie du produit scalaire —  A O 3 Produit scalaire, norme et distance. ) Une telle application est dite bilinéaire. → Somme connexe, Espaces pointés e 1 | y x y A d 1 Elle possède de nombreuses propriétés : elle est symétrique réelle donc diagonalisable ; de plus, ses valeurs propres sont toutes strictement positives. e → Extension, Arbres v max Une application de cette nature, laissant invariant les angles, les longueurs et par voie de conséquence les surfaces est appelée isométrie. Lorsque ces vecteurs sont non nuls, le produit scalaire est le nombre réel y 1 {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}}

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